lunes, 9 de noviembre de 2009

Sumando Vectores.

Todos nos preguntamos que es un vector.
Un vector, es una candidad y su unidad de medición, la cual tiene un punto de partida y un trazo a una posición final, es decir que tiene movimiento.

Así podemos pensar en que 1000 kg se pueden mover hacia el norte. O podemos pensar en dos muchachos tratando de jalar un carro, uno imprime una fuerza de 300 newtons y el otro de 400 newtons, el primero defrente al carro el segundo sesgado a la derecha solo 5 grados. Estos son vectores.

Ahora bien, según como la dirección de los vectores sea, estos se pueden llamar:

Colineales.- Si tienen la misma dirección.
Por ejemplo: Tenemos dos muchachos jalando un solo cordón para poder arrastrar un vehículo con llantas. Uno tira con 400 N y el otro con 600 N hacia la derecha. Como los dos muchachos jalan en el mismo sentido, la fuerza total, o resultante es de 1000 N. Los vectores se suman.

Ahora, supongamos que tenemos en extremo de una cueda a 10 damitas, que tiran cada una 10 N hacia la izquieda. Y del otro lado está un gordito fuerte que tira de la cuerda hacia la derecha con una fuerza de 70 N. En este caso a resultante es de 30 N (los vectores se restan) y las damitas ganan la contienda de la cuerda.

Puede ver el video en youtube.

No colineales.- Si los vectores no tienen la misma dirección ni el mismo sentido.
Estos vectores, generalmente van a acompañados de un ángulo, el cual nos habla de la dirección y el sentido del vector.

Para obtener graficamente la resultante de la suma de vectores no colineales, es importante que primero recurramos a las escalas gráficas para graficar. Por ejemplo: 300 N, podrían ser 3 cm. 60 metros/ segundo, 6 centímetros. Y esto hay que llevarlo a una hoja milimétrica, de preferencia. Segundo, se trazan los ejes coordenados, buscando que los vectores quepan dentro del trazado. Luego, se elige el sistema para sumar vectores no lineales.

Algunos sistemas gráficos de suma de vectores son:

Por paralelogramo.- Se construye un cuatrado perfecto o un cuadrílátero, según sea el caso. Cuando son solo dos vectores. La resultante está compuesta por el tamaño del vector resultante acompañado del ángulo que forma con la horizontal. Esto se hace midiendo desde el origen, hasta el vertice del cruce imaginario que forma el paralelogreamo. (Vea el video en youtube).

Construyendo un polígono.- Similar a lo anterior, solo que este sistema funciona para N vectores. Se colocan cada uno de los vectores, con su tamaño a escala guardando su dirección y sentido, es decir con su mismo ángulo. Se traza primero uno desde el origen hasta su tamaño a escala, al termino de este, guardando el angulo que le corponde el que sigue, y así susecibamente. La resultante final, será el cierre del polígono con el origen. El tamaño se calcula con una regla, y su ángulo con un transportador, el cual nos indicará tambien en sentido vá la resultante.

Ahora bien, la mejor técnica para poder sumar n vectores, no es la gráfica, sino por descomposición de vectores.

La tecnica de descomposición de vectores, está basada en conceptos básicos de trigonometría. Realizamos sumatoria de fuerzas en X y sumatoria de fuerzas en Y. Creamos un tabla como se muestra:




La descomposición de vectores se realiza por medio de las funciones seno(x) y coseno(x), donde x está en grados y no en radianes. Lo que sumamos son las proyecciones de los vectores, es decir su proyección sobre el eje x y y su proyección en el eje y, por separado. Primero, un vector se descompone sus proyecciones de la siguiente forma:




Proyecciones en Y: (tamaño del vector)(seno(ángulo))

Proyecciones en X: (tamaño del vector)(coseno(ángulo))

Una vez que se han descompuesto los vectores, se suman los correspondiente de X y los correspondiente de y. El tamaño de la resultante de la suma total, se obtiene de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la suma en x y de la suma en y. (Tal como se muestra a continuación).



El ángulo se obtine por medio del arcotangente del cociente de la suma en Y, sobre la suma en X.

Así:





Hagamos un ejemplo para poder entender mejor este procedimiento:


Sean los vectores de velocidad: Viento 110 km/hr a 45º, un bargo a 250 km/hr a 120º y la corriente del mar que se desplaza a 50 km/hr en dirección sur (270º). Cual es el vector resultante del barco?


Solución.



Descomposición vectorial.




....Suma en X.......................................Suma en Y



110(cos(45)).....................................110(seno(45))



250(cos(120))..................................250(seno(120))



50(cos(270)).....................................50(cos(270))





Con números y usando calculadora o tablas:



110(.7071).........................................110(.7071)



250(-.5).............................................250(.866)



50(0)..................................................50(-1)




Resolviendo las multiplicaciones



77.781................................................77.781



-125....................................................216.5



0..........................................................-50



Realizando la suma optenemos




-47.219..............................................244.281



El tamaño de la resultante es: ((-47.219)^2+(244.281)^2)^1/2



....................................................= 248.8 km/hr



El ángulo del vector velocidad es:


... arcotang(244.281/-47.219)


100.94 º.



El vector resultante es: 248.8 km/hr a 100.94º


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